講義ノート共有Proj
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2013-02-27T18:31:44+09:00
1361957504
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一般向け/数学/微分積分/高校微積のちょっと上/第4講 極限・収束といくつかの例
https://w.atwiki.jp/teachnote/pages/78.html
#right(){文責:きょうよ}
今日:&counter(today)
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合計:&counter()
*極限・収束といくつかの例
**極限と収束
講義を理解した方であれば、第2回の講義の最後に触れた記号列に関して理解できるものと思います。今、改めてそれを書いてみましょう。&br()
ある数列{s&sub(){n}}が与えられているとき、数sが{s&sub(){n}}の極限であるとは
#math(100){
\forall \varepsilon > 0 ,\exists N \geq 1, \forall n \geq N \mid s_n - s \mid < \varepsilon
}
を満たすときに言います(式1)。また、このようなsが存在するとき数列{s&sub(){n}}は''収束する''と言います。&br()
また、どんなsに対しても収束しない場合その数列は''発散する''といいます。&br()
では、具体的な例を見ていくことにしましょう。
**最も単純な数列
今、数列{s&sub(){n}}が任意のnに対してs&sub(){n}=0であるようなものを考えます。
#math(100){
0(=s_1),0(=s_2),0(=s_3),0(=s_4),\dots,0(=s_n),\dots
}
というような数列です。ずーーっと、0ばかりの数列で大変単純なものです。&br()
これが収束するかどうか、、、いかがでしょうか?すこし考えてみてください。&br()
&br()
&br()
&br()
そこまでもったいぶるほどのものではありませんね。答えは''収束します''。&br()
問題はここからです。収束するからには、それを証明しなければなりません。今、収束するかどうかは上の定義で出てきた式1を満たすような数sが存在しなければなりません。このsは直感からみて0であることは間違いなさそうです。では、次にやらなければならないことはs=0が式1を満たすことを示すことです。&br()
つまり、収束するというためには、数列{s&sub(){n}}が「収束する」という定義を満たすことを示す。そのために極限(この例の場合は0)を見つけそれが定義の条件(式1)を満たすものであ
2013-02-27T18:31:44+09:00
1361957504
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一般向け/数学/微分積分/高校微積のちょっと上/第3講 記号を読む
https://w.atwiki.jp/teachnote/pages/77.html
#right(){文責:きょうよ}
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*記号を読む
**記号はつまずく
すこし高度な数学を扱うような書籍を読もうとした場合、どうしても任意や存在を表す記号の羅列と向き合わなければならなくなります。多くの人は、ここで大変苦労をしてしまうかもしれません。&br()
しかしながら、数理論理を扱うのでなければ、出てくる記号は「∀」「∃」あるいは「⇒」がほとんどで、そこまで複雑なものではないはずです。ごちゃごちゃと書いてありますが、見た目に騙されてはいけません。「丁寧に書こうとすれば説明が長くなる」ように「記号で書くと長くなる」という程度のことで、言っていることはそんなに難しくないはずです。&br()
みんながつまずくここを突破できれば、だいぶ楽になるとおもいます。がんばって理解していきましょう!
**基本の記号
記号列の解読の鍵は、まずは、上にあげた三つの記号を理解することです。ひとつひつつ見ていきましょう&br()
「∀」、これは「任意の」を表す記号です。「任意」という言葉自体、日常の会話では合間り使わないかもしれませんが、意味としては「どのような」とか「~を満たす全ての」だと思っておけば大丈夫でしょう。&br()
例えば「∀x>0 式1が成り立つ」とあれば、0より大きな「どのような」数xに関して式1が成立するとなります。簡単な例で言えば
#math(100){
\forall x>0 ,x+1>1
}
のような感じです。これは「どのような正数xにたいしてもx+1>1(が成り立つ)」ことを意味しています。むずかしくないですね。&br()
ここで注意ですが、上のxがどのような数であるかは上の記号列からはわかりません。有理数であるかもしれませんし、実数であるかもしれません。しかし、たいていの本では、文脈から分かるため省略されています。逆に、わかりにくい場合には省略されていないので読んでいくのに障害にはならないはずです。&br()
つぎに「∃」は「存在する」を意味しています。こちらは、日常の会話でも普通に使うのでわかりやすいですね。「100以上の偶数が存在する」とか「3で割り切れる偶数が無限に存在する」とかです。ある関数fが与
2013-02-16T15:01:19+09:00
1360994479
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一般向け/数学/微分積分/高校微積のちょっと上/第2講 まずは数列
https://w.atwiki.jp/teachnote/pages/76.html
#right(){文責:きょうよ}
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*まずは数列
**ここからはじめよう!
高校の数学教育の流れをみると、「数列→極限→微積」という流れになっていますね。これは多分、極限操作に慣れ親しんでから微積に入ろうということでしょう。私も例に習って、数列から話をはじめることにいたします。&br()
ただし、数列からはじめるのは上とはちょっと違った意図もありまして、それは''実数を構成する''ということ。&br()
実数という言葉は何度も聞いたことありますね?「小数を使って表せる数」というイメージでおおよそあってますが、実はこれがなかなか厄介で、昔の偉い数学者も頭を悩ませた問題と関連しています。&br()
&br()
どうですか?単純に理解していた実数が厄介なものだと聞いて、ワクワクしてきませんか?笑&br()
&br()
そんな方はごく一部かもしれませんが(笑)、どちらにせよ、まずはじめに実数を倒さなければ前に進めないのでそのためのツールとして数列からはじめたいと思います。&br()
(ペアノの自然数の構成には触れません。自然数、整数、有理数に関しては素朴な理解で十分です。このあたりは、集合論を取り扱った講座を見てください。)
**数列の基礎
数列はもう既にご存知ですね。読んで字のごとく、「数の列」です。&br()
もう少し丁寧に言うと、全ての正の整数nに対して数s&sub(){n}が与えられているときこれを''(無限)数列''といい
#math(100){{
{s_n}={s_1,s_2,s_3,s_4\dots}
}}
と書きます。さらに、数s&sub(){n}を''一般項''といいます。このあたりは高校で習っているはずなので特に説明はいらないでしょう。等差数列、等比数列なんていう言葉も、説明を省いて用いさせていただきます。
**数列の収束
なにか数列{s&sub(){n}}があったとします。この数列の項s&sub(){n}が十分に大きなnに対して、ある数sに任意の近さに近づくときこの数sを数列{s&sub(){n}}の''極限''といいます。・・・というのは、高校までの言い方です。これでは「十分に大きな」とか、「
2013-02-27T12:54:01+09:00
1361937241
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一般向け/数学/微分積分/高校微積のちょっと上/第1講 微分積分事始め
https://w.atwiki.jp/teachnote/pages/75.html
#right(){文責:きょうよ}
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*第1講 微分積分事始め
**微分積分はどんなイメージ?
今回から、数回にわたって微分積分学の基礎に関する講座を行いたいと思います。&br()
さて、突然ですが読者の皆様は''微分積分に関してどのようなイメージをお持ちでしょうか?''&br()
高校で習ったことのあるかたにとっては、「微分は傾き、積分は体積」のようなイメージや、あるいは大学受験用の勉強をしてきた方であれば微分方程式・積分方程式を想像して演算子みたいなものをイメージしているかもしれません。&br()
これらは別に間違いではありませんし、かなり本質的な事であるのは間違いないでしょう。&br()
しかしながら、本講座では読者の方には少し違ったイメージをもっていただくことを目標としています。具体的に申し上げれば
-精密な無限へのアプローチ
-論理の運用
というようなイメージです。(無限であるかは別として)これらは微積分に限らず、集合論や代数学など、数学の様々分野で感じることのできる''感覚''であり、また、高校数学ではなかなか感じることのできない感覚だとおもいます。&br()
ですから、別に微積分学でなくてもいいといえばいいのですが、入口としてはちょうどよい題材で、また、これからお仕事や勉強などで難しい数式と向き合う際には上のような感覚があればだいぶ理解も異なるものだと考えています。&br()
**目標地点
もう少し具体的に申し上げると、本講座をよんで''イプシロン-デルタ論法''を自在に使いこなせるようになっていただければ申し分ありません。本講座のタイトルにある「ちょっと上」という言葉もまさにこのイプシロン-デルタ論法を指すものです。&br()
「イプシロン、デルタ??」と頭にハテナマークが思い浮かんでいる方もいらっしゃるかと思いますが、今の段階ではそういう数学の技術があると思っておいてください。これから微積分における計算よりもそちらに重点をおいて説明していきますので必ずやマスターできるようになるはずです。&br()
**解法には触れません
高校数学では、いろいろなケースにおける微分の解き方や積分の解き方、計算方法
2013-02-13T13:08:14+09:00
1360728494
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資料/経済/金融/日向野・金谷・柳田「金融論」(新世社)/4章の概要(2)
https://w.atwiki.jp/teachnote/pages/74.html
#right(){文責:きょうよ}
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**4.3 ケインズの流動性選好説
・ケインズは貨幣需要への動機を三つの要素に分解した。&br()
(1)取引動機&br()
(2)予備的動機&br()
(3)投機的動機&br()
&br()
・ケインズによれば、現在と将来の間の財の配分をある主体が計画するとき、その主体は二つの決定をしなければならない、&br()
→現代の所得の内どれだけを将来の消費のために貯蓄するかと、貯蓄された資産を貨幣された資産を貨幣かほかの資産家のどちらかのかっちで保有するかである。&br()
→前者の決定が''消費性向''であり、後者の決定が''流動性選好''である。&br()
&br()
***取引動機
・家計にしろ、企業にしろ、収入を受け取る時点とそれを支出する時点は乖離しているのが通常である。この間、主体は購買力を貨幣の形で保有する。&br()
→この形の貨幣の需要を''取引動機に基づく需要''とよぶ。&br()
&br()
・この動機に基づく流動性選好は利子率の変化に対して非感応的である。国民所得が増えれば、おそらくは比例的に、増加すると考えられる。
***予備的動機
・''予備的動機''とは、不時の支出に備えて貨幣保有への動機である。&br()
→この動機に基づく貨幣需要も主体の所得が増えれば比例的に増すと考えられるので、国民所得の増加関数である。&br()
&br()
***投機的動機
・''投機的動機による貨幣需要''とは、利子率の変化にともなうキャピタルゲインを求めて主体が貨幣か債券かを選択する結果生じる貨幣への需要である。&br()&br()
&br()
・話を簡単にするために、債券は''コンソル''と呼ばれる永久債券のみとしよう。&br()
→コンソルとは毎年名目で一定額の利子が所有者に対して永遠に支払われる政府発行の債券をいう。コンソルは償還されることがないので永久債券と呼ばれる。&br()
&br()
・例えば、いまコンソル1単位は年に1ポンドの利子の支払いを約束しているとしよう。&br()
→このような利子の時間的な流列の和は、今年の時点のポンドで評
2013-02-05T16:57:43+09:00
1360051063
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資料/経済/金融/日向野・金谷・柳田「金融論」(新世社)/4章の概要(1)
https://w.atwiki.jp/teachnote/pages/73.html
#right(){文責:きょうよ}
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**4.1貨幣需要
・''名目貨幣残高''とは公衆が 一定期間に平均して保有する貨幣量をいう。&br()
・''実質貨幣残高''とは名目貨幣残高を物価水準で除したもので、財何単位を購入するに十分な貨幣量を公衆が保有するかを示す。&br()
&br()
***貨幣需要関数
・結論を先取りしていえば、貨幣需要については、理論・実証の両面から見て以下のような事実が知られている。&br()
→ほかの事情を一定とすれば名目貨幣残高への需要は&br()
(1)物価水準に比例的に増減し&br()
(2)名目利子率が増加すると減少し&br()
(3)実質国民所得が増加すると増加する&br()
&br()
・この関係を式に表現すると
#math(100){
M=PL(i,y) \dots(1)
}
→ただし、Mは名目貨幣への需要量、Pは物価水準、iは名目利子率、yは実質国民所得である。&br()
&br()
・(1)式のLのような貨幣への需要を示す関数を貨幣需要関数と呼ぶ。&br()
&br()
***貨幣とマクロ経済
・貨幣への需要と供給の交わる市場を''貨幣市場''というが、貨幣市場の均衡点は、通常の市場と同じく、貨幣への需要と供給の一致する点で与えられる。&br()
&br()
・貨幣需要が変化するためには、(1)式よりP、i、yのいずれか、あるいはすべてが変化しなければならない。&br()
・貨幣需要関数はなぜこれらの変数に依存しているのか、これらの変数の中でどの変数に特に依存しているのか、貨幣需要関数はどの程度安定しているのか、などの点が政府の金融制作への指針として実際的な重要性をもってくるのである。&br()
&br()
**4.2 貨幣数量説
・貨幣数量説には大きく分けて、フィッシャーの''交換方程式''とマーシャル、ピグー等の''ケンブリッジ方程式''がある。まず、フィッシャーの交換方程式の理論を解説しよう。&br()
&br()
***交換方程式
・ある経済において一定期間になされた財・サービス取引量について考えよう。&br()
・貨幣経済の性質か
2013-02-02T21:13:32+09:00
1359807212
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資料/社会学/社会システム理論/ゲオルク・クニール「ルーマン社会システム理論」(新泉社)/心的システムのオートポイエーシスの概要
https://w.atwiki.jp/teachnote/pages/72.html
#right(){文責:きょうよ}
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**3.心的システムのオートポイエーシス
***ルーマンにおけるオートポイエーシスの構想の一般化
・ルーマンの理論的発展の第二段階の特徴は、一般システム理論におけるパラダイムの転換を社会学に適用しようとするところにある。&br()
→ルーマンは社会システムを自己準拠的-閉鎖的なオートポイエーシス的システムとみることによって、オートポイエーシスという構想を直接受け継いでいる。&br()
&br()
・ルーマンの見解によれば、生命システムと社会システムだけがオートポイエーシス的に組織されているのではない。&br()
→それと並べて、彼は、心的システムつまり意識システムをはじめとするさまざまな種類のシステムをあげている。&br()
&br()
・オートポイエーシスという概念は生命の概念を定義するために導入され、用いられているが、この概念をさらに抽象化するのが得策であろう。&br()
→オートポイエーシスという概念は、システムという統一体の生産と再生産の自律的な諸形態の探求をうながすものであり、さまざなに異なった仕方で、それぞれに固有なオートポイエーシスのあり方を実現する可能性を無視しないようにさせるのである。&br()
&br()
・ルーマンは一般的な統一的なオートポイエーシス概念を、さまざまな種類のシステムを記述するためにもいている。&br()
→しかし、ゲゼルシャフトが大ざっぱに一種の生物学的な生き物ととらえているというようなことが、主張されるのではない。&br()
・オートポイエーシスという構想が個々の種類のシステムのあいだにある区別と差異を抹消するものではないということを指し示している。&br()
&br()
・ルーマンが用いる一般化されたオートポイエーシス概念は、徹頭徹尾、システムの諸要素を生産することによるシステムの自己産出と自己保存という意味をもつものとして定義される。&br()
&br()
・オートポイエーシス的システムは、はたらきにおいて閉鎖的なシステムであって、その構成要素を回帰的な過程そのもののなかで作り出す。その場合に、閉鎖性は、開放性に対する対立物としてで
2013-02-02T19:58:54+09:00
1359802734
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資料/経済/金融/日向野・金谷・柳田「金融論」(新世社)/3章の概要
https://w.atwiki.jp/teachnote/pages/71.html
#right(){文責:きょうよ}
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**3.1 貨幣と銀行
・私たちが何らかの代金を払うときに何を渡せば相手は支払いが済んだと認めてくれるだろうか。&br()
→現金は一番可能性が高いだろう。振り込むという方法もある。&br()
&br()
***支払いの手段
・現金ばかりでなく預金も支払いの手段と考えてよいであろう。&br()
→言い換えると預金も貨幣なのである。&br()
&br()
・銀行や郵便局は預金通帳・証書を発行して集めた資金を、一部手元に残して大半を貸出や証券購入にまわす。&br()
&br()
・貨幣として機能するような債務を発行する企業は銀行でなく、金庫番業者でもよい。&br()
→銀行は金融仲介機関と振替業者の両方の性質をもつ。&br()
&br()
・金融仲介機関の性質をもたいない振替業者は、金庫番・輸送業者であり、振替業者の性質をもたいない金融仲介機関は生命保険・損害保険、投資信託などにあたる。&br()
&br()
***銀行と決済システム
・民間企業が顧客ごとに口座を設けて顧客から資金を預かり、口座間の資金移転サービスを供給する一方、ず買った資金の大半をほかに運用して利子を稼ぐ。この民間企業こそ銀行と呼ばれる金融機関にほかならない。&br()
&br()
・銀行は金融仲介期間の一種であり、自社の負債が貨幣として通用する点、銀行の独自性がある。&br()
&br()
**3.2 貨幣の性質
・貨幣をつかった決済のシステムにはいくつかの種類が考えられ、銀行預金を振り返る決済方法はそのうちの一つであることがわかった。→しかし、決済といっても結局は貨幣を相手に送って支払いをすますことであるから、あらかじめ何が貨幣であるかについて当事者間で合意ができてなければならず、その意味では決済システムよりも前に貨幣がなければならない。&br()
&br()
***100%電子決済の経済
・銀行の口座振替があらゆる取引の決済について可能であると仮定してみよう。&br()
&br()
・銀行が、自分の負債が貨幣性をもつという点は、この仮想経済でもかわらない。&br()
・預金者から集めた
2013-01-31T15:48:56+09:00
1359614936
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資料/経済/金融/日向野・金谷・柳田「金融論」(新世社)/2章の概要(1)
https://w.atwiki.jp/teachnote/pages/70.html
#right(){文責:きょうよ}
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**2.1資金調達と資金運用
・前章で説明したように、資金不足主体は負債を発行して尺乳を行い、資金余剰主体はその負債を自分の資産として購入する。&br()
&br()
***負債の種類
・この負債にはどのようなものがあり、どのように発行されるのか。&br()
→たとえば、政府が資金不足になれば国籍を発行するし、企業も社債を発行する。&br()
→社債も国債も発行者にとっては負債であるが、それを買う人にとっては資産になる。&br()
&br()
・事業債や国債・地方債は将来の一定期日(満期)に一定額を返済することを約束する(確定利付き)債権の一種である。&br()
→利息は満期に一括して払われるものと万期まで毎期分割して払われるものとがある。&br()
&br()
・株式は経営への参加券(株主総会での投票権)と収益権(株式配当の受領権)を意味する証券で、債権の利息とちがって、配当はその企業の業績などにより変動する。&br()
&br()
・株式の発行残高は、当期に新規に設立された法人の株式発行額と、既に存在している株式会社の増資分の両方が入っている。&br()
&br()
***法人部門の資金調達
・法人部門はマクロ的に見て最大の実物投資担当部門でもある。&br()
&br()
・企業の資金調達の内訳によると、外部資金と内部資金でくらべると外部資金のウェイトが高い。&br()
&br()
・外部資金というのは大まかに言えば企業の外部から調達される資金のことで、株式発行や社債発行、銀行借入、企業間信用受信(掛け買い)などを含む。&br()
&br()
・内部資金の方は、社内留保や減価償却引当金の取り崩しである。&br()
&br()
・成長率の高い時期の方が外部資金への依存度が高まる傾向がある。&br()
&br()
・投資家側の権利として将来株式に転換できる社債を転換社債といい、新株を将来買い取る権利がついているが、権利行使後も社債部分がのこる社債をウォラント債という。&br()
&br()
***法人部門の資金運用
・一般に企業がいくら資金不足であると
2013-01-29T18:44:08+09:00
1359452648
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資料/経済/経済思想史/八木紀一郎「経済思想」(日経文庫)/七章の概要
https://w.atwiki.jp/teachnote/pages/69.html
#right(){文責:きょうよ}
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**(1)貨幣ヴェール観
・近代の経済思想は貨幣経済の社会への浸透と結びついて成立し、貨幣問題は重商主義時代の経済思想の理論的焦点に位置していました。&br()
→しかし、経済学者の関心が 生産的資本の蓄積に向けられるようになると、貨幣が経済にもたらす影響は名目的なものに過ぎないという考えが支配的になります。&br()
&br()
・貨幣商品である金銀の価値について労働価値説、あるいは生産費説を適用した古典派は経済学理論を完全に非貨幣化することに成功したかのように見えました。&br()
→しかし古典派のこうした見方を脅かすものが一つありました。それは銀行制度とともに発展してきた信用貨幣です。&br()
&br()
・貨幣資本は実物資本(機械設備など)の影と考えられていました。&br()
→しかしそれは、貸し付けられる貨幣資本が資本家階級内部の既存の有給貨幣資本に限定されていて、銀行はその仲介者でしかないような場合を想定するものです。&br()
&br()
**(2)ヴィクセルの累積過程論
・19世紀末になると経済学者は純粋な信用経済を想定した議論をはじめました。&br()
→スウェーデンの経済学者クヌート・ヴィクセルはワルラスの一般均衡理論にたった貨幣論とベーム=バヴェルクの資本理論を総合し、さらに信用経済を考慮して経済の貨幣的側面と実体的側面の関連にその考察を進めました。&br()
&br()
・一国の経済でもし実物資本を直接に貸借しあることが行われているとすれば、そのときに成立する利子率は実物資本の利潤率を反映したものでしょう。&br()
→ヴィクセルはこれを実物利子率(自然利子率)と呼びます。&br()
&br()
・銀行組織によって資金の貸出が行われる際の利子率(貨幣利子率)が実物利子率に等しくない場合にはどういうことが起こるでしょうか。&br()
&br()
・貨幣利子率が実物利子率より低い場合は商品価格の水準の一般的上昇が生じます。逆の場合は。物価の下落です。&br()
→こうした物価変動は企業家の利得期待に跳ね返りますから、銀行が貸出利子率に固執する限り、
2013-01-29T13:38:10+09:00
1359434290